一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。
——马克思
10．1历史学家与数学家的合作
本章，我们将给出中国封建社会超稳定系统的一个近似的数学模型。
每当人们试图把数学应用到错综复杂的历史研究中时，常常会碰到两方面的极端意
见：一种是数学万能论，企图用数学解决一切问题，推出人们凭历史直觉难以想象的结
论；另一种则否定数学应用于历史研究的可能性。在后一种意见看来，数学描述的对象
只能是机械的、简单的、定量的关系，而历史过程太复杂，不宜于运用数学进行研究，
尤其是对于涉及人的有目的的活动应用数学工具进行研究，那不过是赶时髦和贴标签而
已。
这两种看法，都是对数学的本质不够了解而造成的。实际上，用数学来描述规律，
只不过是把人们用直观和语言所把握的规律形式化、定量化、精确化而已。数学符号表
达式和文字语言描述是等价的。对于规律的把握，如果用语言描述做不到，那么用数学
工具也是不可能的。因此，前面说的第一种观点几乎是一种幻想。然而，当研究对象关
系措综复杂，用直观推理会造成混乱时，运用数学方法却会显示出其简洁、准确的效用。
可见，认为不能用数学模型来研究历史也是片面的。以往历史研究中应用数学不成功，
这有两方面的原因：一方面，数学工具本身还有待于发展；另一方面，历史研究要提供
较为明确的规律性认识，以至于清晰到可供运用数学工具进行研究时才好运用数学工具，
但过去往往缺乏这个条件。这就需要历史研究工作者和数学工作者共同努力。
把数学应用到社会科学研究中，往往有三个必需的步骤：
第一，社会科学对某些问题的研究已深入到一定程度，我们对其规律性已经可以用
描述性语言表达。
第二，将描述性语言转化为数学语言。
第三，应用数学语言推理，使讨论越出直观描述性语言所把握的深度，向精确化、
定量化方向发展，推出直观一下子难以把握的某些结果。
在这三个必要步骤中，第一和第二步是基础，称为“提出数学模型”，或称“数学
化”。第三步是用数学语言讨论模型。一般人们所理解的运用数学方法，则往往只看到
第三步。其实，对于社会科学家最重要的是第一、二步。
在本书前九章中，我们用描述性语言分析了超稳定系统。
这是运用数学模型方法进行研究的基础。本章，我们主要是完成第二步，表明如何
把描述性语言所叙述的规律转变为数学语言，提出中国封建社会超稳定系统的数学模型。
10．2从事件到数轴的映射：寻找主要变量
我们提出的数学模型仅局限于讨论王朝寿命问题。这样就可以暂时撇开中国封建社
会超稳定系统其他方面的性质。前面，我们已经证明影响王朝盛衰的因素可以归结为无
组织力量和一体化调节力量这两个主要的变量。
我们用Φ来表示整个社会的无组织力量，用Ψ来表示一体化调节力量。整个社会无
组织力量Φ成为经济、政治、意识形态三结构无组织力量的总和，即：
Φ=Φ（经济）十Φ（政治）＋Φ（意识形态）
Φ（经济）主要表现为土地兼并的程度。从原则上讲，土地兼并的程度是可以计量
的。
Φ（政治）是官僚机构的腐朽和膨胀程度的度量。第五章的曲线就是一种计量方法。
Φ（意识形态）是意识形态结构中的无组织力量，它似乎不好计量。但是我们在前
几章证明它与经济。政治结构中无组织力量是成正比相关增长的、也就是说，存在着如
下关系：Φ（意识形态）=k1Φ（政治）＋k2Φ（经济）。所以，我们可以说，Φ是可以
计量的一个变量。
Ψ代表一体化调节力量。控制论关于系统的控制能力度量单位是“比特”，即单位
时间内能作出多少二择一事件的选择。目前为止，我们并没有统计过中国封建超级大国
在单位时间内拥有多少比特的调节能力，但Ψ也是可以计量的。
要用数学模型来讨论王朝盛衰，还必须有一个变量来表示王朝盛衰的状态。但要找
出一个统一的量来度量王朝盛衰是有困难的。怎么办呢？数学中采用了一种重要方法，
即规定一个从事件（在这里是王朝强盛、衰落或分裂等的各种可能状态)到数轴S的一个
映射，使得各种状态对应着数轴S上不同的数，如图33所示。S上的点并不真正代表某一
个可以实际计量的代表王朝盛衰状态的量，它只是一种简化了的数学表示方法。这种方
法在物理学和生物数学中经常应用。如在广义相对论中引进空间曲线坐标系，空间不同
位置的点与不同的数对应。这一坐标系仅仅是用数来表示空间不同位置，本身并无长度、
角度等实在物理含义。这种表达方式可以使模型形象化，又不妨害计算。
我们把S称为“状态变量”，因为它描述模型中王朝盛衰状态。Φ和Ψ则称为“控制
变量”，它们是影响王朝盛衰的两个主要条件。找到状态变量和控制变量，是提出模型
的关键性步骤。
10．3王朝稳定性的数学表示
前几章中，我们论证了这样一个观点；一体化调节力量越大，无组织力量越小，王
朝就越稳定。而当Ψ很小，Φ很大时，也具有这种性质。状态G是不稳定的。它不处于势
函数曲线的洼中，只要有微小的干扰就会很快变化到两个稳态之一中去。形象地讲，系
统处于稳定态，好比小球处于低洼的坑中。
对于不同的系统，变量的内容千差万别，稳定机制也极不相同。但这种高度抽象的
数学表达方式，抓住了系统稳定性在行为方式上的共同特点，从而为研究系统稳定性是
怎样随不同因素而变化提供了一般性的数学语言。
这样一来，Φ和Ψ这两个变量是怎样影响王朝的稳定性就可以用洼的深浅形象地表
示了。一体化的调节力量越大，王朝的大一统局面就越稳定，其表示方法是Ψ越大，B洼
就越深。而无组织力量越大（Φ越大），代表大一统的B洼就越浅。随着无组织力量增加
Ψ减小，势函数变化如图35、图36、图37所示。当无组织力量Φ增大到一定程度时，B洼
就消失，这时大一统王朝不稳定，系统不能再处于B，它一下子离开B，向A突变，如图3
7所示。这就是王朝崩溃。如果在崩溃动乱中无组织力量没有减少，系统就会落入A洼，
呈分裂割据状态。同样，如果一开始社会处于分裂割据状态A，随着一体化调节力量的不
断增加，Φ增大，势函数曲线就会如图38、图39、图40所示的变化。当一体化调节力量
Ψ大到一定程度，分裂局面就维持不住了，系统重新从A状态突变到B状态，表示新的统
一王朝的建立。我们找到王朝稳定性的数学表示，也就找到了王朝崩溃和建立的表达方
法了，这就为建立数学模型奠定了基础。
10．4行为曲面与盛衰曲线
建立模型最重要的是明确Ψ、Φ两个变量和S的关系。我们以Ψ、Φ两个变量组成底
平面，S为垂直坐标，在SXΨXΦ空间大一统封建王朝就不稳定，封建割据的分裂状态倒
是稳定的。我们在讨论Ψ、Φ是如何影响S的时候，首先要设法用数学语言来描述王朝的
稳定性。
控制论指出，任何一种稳定态必定有着相应的稳定机制，它可以抽象地用势函数趋
于极小值的动态过程来表达，也就是说，稳态状态相当于势函数曲线的一个洼。如图34
中，曲线有两个洼，第一个挂的中心位置在A点，第二个洼的中心位置在B点。只要系统
处于A点或B点，都是稳定的。
为什么稳定性可以用这种方法来表示呢？因为从系统的行为来看，稳态可以看作是
当这一状态受到某种干扰而发生偏离时，系统可以自动消除偏离回到稳定态。图34中的
两个洼就具有这种性质。假如系统受到某种干扰偏离稳态A时，系统的势函数就相应增大
了。系统的稳定机制是使势函数趋于最小，就会有一个变换，使系统状态回到稳态A。在
图34中。这一稳定机制形象地表示为系统状态自动地下滑回A点。同样，另一个洼B点，
中，描述S和Ψ、Φ关系的是一曲面，我们称之为“行为曲面”。
知道了行为曲面的形状，就知道Ψ、Φ怎样决定S了。但由于我们不知道势函数G(S、
Ψ、Φ）的具体形式，粗一看去，行为曲面是导不出来的。但前面的讨论已明确，势函
数最多有两个洼，一个洼代表王朝大一统状态，另一个洼代表封建割据状态。并且，Ψ
越大，Φ越小时，大一统状态就越稳定，其相应的洼就越深。而当Φ越大，Ψ越小时，
代表封建割据状态的另一个洼就越深。有了这种拓朴特征的规定，我们就可以在不了解
函数G（S、Ψ、Φ）的具体形式条件下，也能得到行为曲面。新近的突变理论证明，凡
是具有上述条件的势函数洼的位置和控制变量的关系，都可以用折叠型模型来表示，其
行为曲面如图41所示。行为曲面上任一点表示不同的Ψ、Φ值下封建王朝所处状态。行
为曲面有一折叠，折叠的上半叶相当于系统处于B状态，即大一统状态；折叠的下半叶表
示A状态，即分裂割据状态。折叠面之间的尖角形空间表示大动乱，它是由B到A突变过程
的不稳定状态。当Ψ和Φ都很小时，折叠消失在Q’点七，就是说Φ和Ψ趋于0时，社会
组织几乎不存在了，这时也就无所谓社会的统一状态和分裂状态的区分了。
行为曲面的折叠在底平面（控制平面）上的投影为一尖角形（图42）。折叠的一边
Q’M’在底平面上的投影为QM，另一边Q’N’的投影为QN。我们将QN称为“建朝边界”，
QM为“动乱边界”。为什么要这样称呼呢？如果社会一开始处于分裂割据状态K，随着Ψ、
Φ两个量的变化，社会状态沿着KK’曲线在曲面上变化，一旦到达Q’N’边界上，分裂
割据状态的面就中断了。系统状态将突变到行为曲面上半叶的L点，表示大一统的新王朝
建立。K’点相应的Ψ和Φ值正好在QN线上，也就是说QN线表示一条边界，只要Ψ、Φ值
一旦达到它，新王朝建立，所以称QN为建朝边界。同样，只要Ψ、Φ值落到QM线上，系
统状态就从上半叶跌落下来，跌落过程处于折叠区的空间，表示社会的大动乱。所以QM
线称为动乱边界。在底平面图上，QM以下的区域表示系统处于分裂割据状态，大一统王
朝不能建立。现在，我们可以用图41所示的模型来形象地描述中国封建王朝的盛衰变化
了。我们假定，一个新王朝建立时Ψ、Φ的情在a1点上，随着Ψ、Φ两个值的变化，社
会状态点在行为曲面的上半叶沿着曲线a1b'd'1运动。到达d'1点上，Φ、Ψ值就到达了
动乱边界，大动乱以突变的方式出现，社会状态顺着d'1K线落下来。一旦社会状态脱离
d'1点处于两个折叠面中间时，表示整个社会处于不稳定的大动乱之中。这时，就有两种
可能性。一种是大动乱有效地杀伤了无组织力量，使Φ位迅速变小，也就是说Φ值在社
会状态离开d'1点时就开始减小，还未落到行为曲面下半叶时，无组织力量Φ的值已充分
小，使得Ψ、Φ值又回到建朝边界上。这时系统就不会落到K点，分裂割据不会出现。系
统状态在Φ变小过程中落到行为曲面下半叶的折叠边界——建朝边界上，系统马上又以
突变的方式回升到行为曲面的上半叶。新的大一统封建王朝建立了。它表示改朝换代。
第二种可能性是，大动乱没有有效地消灭无组织力量，Φ值不能迅速变小，Ψ、Φ值不
能回到建朝边界上，这时系统就会落到行为曲面的下半叶，表示出现稳定的分裂割据局
面。
我们可以看到，只要根据王朝各个时期Ψ、Φ两量的变化，就可以通过模型把握王
朝盛衰和动乱。读者显然可以发现第六章图17所示超稳定系统行为曲线，就是根据这一
模型画出的。读者会说，这种数学模型有什么用呢？它只不过把我们用描述性语言所叙
述的历史过程用一个立体模型图来表示一下而已。实际上数学模型的作用远不止于此，
它可以使我们把握用直观的描述性语言所难以捉摸的条件。例如，Ψ、Φ两个变量变化
到什么范围内会出现王朝崩溃，在什么条件下稳定的分裂割据状态会出现等等，从而使
研究可以更为清晰和细致。下面，我们根据模型作深入一步的讨论。
1O.5王朝盛衰方程
我们先分析Ψ、Φ变化的规律性。中国封建社会存在三种不同状态：大一统王朝的
稳定局面、崩溃动乱和分裂割据。在这三种状态下，Ψ、Φ变化的情况是不同的。下面，
我们分别进行讨论。
一，统一王朝稳定状态。
这时，Ψ、Φ的变化是连续的，不采取突变的方式。Ψ、Φ两个量的变化可以用微
分方程来描述，也就是说，Ψ、Φ两个量各自只能影响对方和自身的增长率，而不能直
接限定对方。这是社会稳定期间连续变化的量往往具有的特征。于是可以用如下方移表
示Ψ、Φ的关系：
dΨ/dt=p(Ψ、Φ）
dΨ/dt=Q（Ψ、Φ）
一般说来，P（Φ、Ψ），Q（Φ、Ψ）是。，Ψ的非线性函数。在每个大一统王朝
中无组织力量和一体化调节力量能存在大致机同的制约关系，我们可以认为方程（1）、
（2）对于历代封建王朝都是相同的。显然，只要知道（1）、（2）方程的具体形式，Ψ、
Φ两个量在王朝稳定阶段的变化情况就可以确定了。个尽管我们还不具备精细地、定基
地考察Ψ、Φ之间关系的条件（缺乏统计分析基础），但仍可以根据前九章得到的历史
结论对方程进行考察。
我们已证明无组织力量中的增长是不可遏制的，并且具有自繁殖性。这些特征可以
用数学形式表示为；
dΨ/dt=P（Ψ,Φ）>0，且
P（Φ1，Ψ）＞P（Φ电，Ψ）当Φ1＞Φ2时（3）
我们还论证了一体化调节力量越大时，无组织力量越长越慢，这一关系可以表示为：
P（Φ,Ψ1）＜P（Φ,Ψ2）当Ψ1>Ψ2（4）
当无组织力量大到一定程度对，它对一体化调节力量的破坏将加剧。这种关系也可
以用数学表示为：
dΨ/dt=Q（Φ1,Ψ）<0当Φ1很大时（5）
方程（1）、（2）是王朝盛衰方程。条件（3）、（4）、（5）是对P（Φ,Ψ）,Q
（Φ，Ψ）函数关系的限定。有了（1）、（2）、（3）、（4）、（5）式，确们就可半
定量地讨论王朝寿命。
二，王朝崩溃动乱状态。
王朝崩溃动乱时，Ψ、Φ两个量的变化再也不遵循方程（1）、（2）了。大动乱中，
无组织力量和一体化调节力量的变化不是连续的。很难用方程来描述它们。一般说来，
大动乱发生后无组织力量就迅速减小，一体化调节力量一开始也是减小的，但只要王朝
修复机制不出现障碍，一体化调节力量在减小以后还会增加，这就使得中国历史上多数
场合大动乱发生不久，Ψ、Φ状态很快回到建朝边界，新王朝得以重建。
另一种情况是，Φ不能有效地减少，这时将出现某种稳定的分裂局面。
显然，只要引入这一阶段Ψ、Φ两个量变化的数学描述，也应该是可以半定量地讨
论正朝崩溃持续的时间，割据出现的可能性等问题。我们在本章不涉及这些问题的讨论。
三，某种稳定的分裂割据局面。
一旦系统跌落到代表分裂割据状态的行为曲面的下半叶，Ψ、Φ两个量的变化和上
述两种情况都不一样了。社会上存在着几个相对稳定的相互交战的小国，已不象大动乱
时处于完全无序的状态。小国割据及其战争，并不能象大动乱那样杀伤无组织力量，这
时如果整个社会无组织力量Φ变化不快，而一体化调节力量Ψ迅速变大，那么系统会进
入建朝边界，在分裂割据的基础上实现统一。秦、西晋、隋、宋代的建朝就是这样。如
果Ψ量增长很慢，例如魏晋南北朝，这时系统就会长期停留在行为曲面下半叶。
显然，只要进一步引入这一阶段中Ψ、Φ在各种条件下变化的模型，也是可以半定
量地讨论分裂割据局面维持的时间、统一发展的过程等问题的。但在本章数学模型中我
们不准备讨论它，而仅就王朝稳定阶段Ψ、Φ变化来研究王朝寿命问题。
10．6王朝寿命讨论及其他推论
现在，我们可以用这一模型来导出一些凭直观难以推出的结论。
在此，我们仅限于对数学模型半定量地讨论。所谓半定量地讨论，是指引进变量，
但不进行具体的数值运算，只从模型来分析各个量之间的关系。在社会科学研究中进行
半定量的讨论，是有价值的。它可以避免大量统计所带来的困难和混乱，又能发挥数学
模型的精确判断作用。
一，一个朝代开始时，内部无组织力量越小，王朝寿命就越长。
要计算王朝寿命就必须先求出Ψ、Φ运行轨线。可以在数学上证明，王朝在建朝边
界上处的起点位置不同，运动轨迹也是不相交的，如图43所示。如果a1、a2、a3……a6
各点为不同朝代起点，a1b1d1等轨线代表各个朝代。数学上可以证明，当王朝建立时无
组织力量越小，即越是外部的轨线，相应王朝寿命越长。
这个推论揭示：封建王朝内部无组织力量积累的程度和它的寿命长短有着深刻的内
在联系。一个在建朝时看来不那么富裕强盛的王朝，但因其内部无组织力量较小，发展
余地倒很大。而一些建朝时十分强大的王朝，其发展余地却很小。
这个推论与历史事实符合程度如何呢？尽管我们目前还缺乏各王朝建朝时无组织力
量大小的统计资料，但仍可以举出一些众所周知的历史事实来印证。
西汉和东汉两个朝代，从历史记载上看，东汉初年无组织力量明显大于西汉初年。
汉光武帝不敢触犯豪门士族的利益。东汉寿命比西汉短。历史学家知道，在三国基础上
实现统一的西晋王朝，无组织力量——一主要是贵族门阀势力相当强大，其寿命也很短。
因为统计资料的不足，我们很难确定一些王朝建立时无组织力量的大小。但是，我
们在前面几章中已讨论过，农民大起义对无组织力量扫荡得越彻底，新建王朝初期的无
组织力量就越小，其寿命就越长。这一结论，本章用数学模型半定量分析作出了证明。
二，由封建割据统一起来的王朝寿命较短。
1O．5部分证明分裂割据局面出现时，无组织力量不会减小。当一体化调节力量慢慢
增大时，分裂割据局面会实现统一。这种由割据统一的王朝内部保存了相当大的无组织
力量，因此这样的王朝一般寿命都很短。这一推论与历史事实相符。
在中国历史上，农民大起义后建立起来的朝代比由封建割据统一起来的朝代寿命要
长得多。农民大起义后建立起来的朝代是西汉、东汉、唐、明、清，它们的寿命在二百
年上下，有的近三百年。由封建割据统一起来的有秦、隋、晋和北宋。前三个朝代寿命
很短，只十几年到几十年的时间。北宋有一百多年历史。北宋的情况很特别，但也不与
我们推论矛盾。数学上可以证明，当一个王朝建立，无组织力量相当大，而中央一体化
调节力量也相当大时，就可以出现一些象北宋这样的特殊的王朝。
三，存在着三类王朝：盛大王朝、短周期王朝和后期王朝。
图43中建朝边界上a1，a2……a6表示六个不同的王朝建朝的初始状态，从其轨线上
看，这些王朝可以分为两类。一类是a1b1d1,a2b2d2，a3b3d3，a4b4d4，这四条轨线起始
于建朝边界，后来又一次通过建朝边界，它们与建朝边界有两个交点。另昂类王朝的轨
线是a5d5，a6d6，它们自建朝边界开始后再也不和建朝边界相交了。
这两类轨线所代表的王朝是有很大差别的。与建朝边界有两个交点的王朝寿命长，
后一类寿命短。此外，前一类王朝的轨线中有一段处于建朝边界以上区域，即处于太平
盛世。后一类王朝从开始就处于建朝边界与动乱边界之间的尖角形内。尖角形内区域含
有两种可能，即统一或分裂。它暂时处于稳定的统一局面，但动乱的可能性已经威胁着
它了。虽然轨线要达到动乱边界时才发生崩溃，但一旦王朝的轨线进三角区内，就表示
它已离开太平盛世走下坡路了。因此，第一类正朝经过两个阶段：上升阶段，也可以称
为太平盛世阶段；由繁荣走向崩溃的后期阶段。第二类王朝没有太平盛世阶段，建立后
马上由鼎盛点走向崩溃。我们把第一类王朝称为“长周期王朝”，或“盛大王朝”；第
二类王朝称为“短周期王朝”。中国历史上的西汉、东汉、唐、明、清都属于长周期王
朝；秦、晋、隋属于短周期王朝。
除了这两类王朝外，还有没有第三类王朝呢？如果一个王朝建立时处于建朝边界的
b1，b2,b3……这些点上，那么它建朝初期内部无组织力量就比短周期王朝的无组织力量
还要大，但它的一体化调节力量也很大。因而这样的王朝建立后开始按一个盛大王朝的
轨线运行，但它没有经过盛大王朝前期的上升阶段。这类正朝我们称之为“后期王朝”。
这种王朝在建立时，Ψ和Φ都足够大，类似一个盛大王朝的中后期情况。这造成了一些
独特的历史现象，如商品经济一开始就相当繁荣，出现盛大王朝只有中后期才会出现的
某些现象。中国历史上只有一个属于这类的王朝，这就是宋朝。宋朝一建立，某些地区
（如四川）土地兼并程度相当高，商品经济发达，农民起义次数相当多、规模也较大。
这些现象是一个盛大王朝中后期才突出起来的。理论上可以证明，这种很特殊的后期王
朝的寿命，介于长周期王朝与短周期王朝之间。宋朝正是这样。理论分析还证明这类王
朝只可能是通过统一割据局面建立起来的，这也与宋朝建立的过程相符合。
四，越是盛大王朝，后期变法越困难。
由于建朝边界和动乱边界呈喇叭口形状，越是盛大王朝其轨线越处于外围，后期无
组织力量相当大，又离建朝边界很远。在这种情况下，即使搞变法改革，只能暂时减少
无组织力量，根本不可能将社会推回太平盛世区域。越是盛大王朝，其轨线越长，变法
也越困难。这一现象我们在前九章中已经做了说明。五，短周期王朝崩溃以后，不太容
易形成割据局面，而常产生盛大王朝。
从图43可以明显地看出，短周期王朝崩溃时，Φ、Ψ值离建朝边界较近。这也就是
说，只要对无组织力量有足够的杀伤，就能很快回到建朝边界，而且处于无组织力量较
小的起始点上。这样的王朝往往是一个长周期王朝。而盛大王朝崩溃后，离建朝边界较
远，对无组织力量的杀伤也不太容易，这时出现分裂状态的可能性就较大。
历史学家们早已注意到，在中国历史上，秦以后出现的西汉，隋以后出现的唐朝，
这汉与唐是两个最盛大的王朝。这种现象决不是偶然的。另外，中国历史上几次分裂割
据局面都出现在长周期王朝之后。如东汉以后的三国鼎立，唐以后的五代十国。
需要指出的是，短周期王朝西晋以后出现的长期分裂局面，并不构成上述讨论的反
例。我们在第七章中指出，西晋灭亡后长期分裂的出现，是由于一体化调节发生了障碍，
使得Ψ的值一直很小，大一统的王朝建立不起来。这是和东汉末年、唐朝末年的情况不
相同的。
以上五个推论是从数学模型半定性讨论得到的，如果我们仅仅满足于对超稳定系统
作非数学的研究，凭直观是不那么容易把握这些结论的。这就体现出数学模型的作用。
当然，这个模型是非常粗糙的，而且距数值运算的要求还差得很远。我们之所以把
建立模型的步骤写出来，无非是想说明把数学模型方法引进到历史研究中来并不神秘。
它既不是无用的，也不是万能的。应该说，在今后的研究中，它是必须的，它应该成为
历史学家得心应手的工具。数学在历史学研究中也要担负起它在其他学科研究中那义不
容辞的责任。数学模式将由历史学家从具体而精细的历史研究中抽出，然后再用它清晰
的逻辑推理和明确的预见性，来照亮纷繁变幻的历史现象深处的客观规律。
1981年9月完稿于北京友谊宾馆
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素心学苑 收集整理
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